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トーナメントで正しい順位が出る確率は?

全く牧場とも馬とも関係ない話です。
オリンピックを見ててふと疑問に思ったのですが、対戦型の競技の場合、勝ち残り式のトーナメントで順位を決めることが多いですね。競技によって、多少方式が違ったりもしますが、もっとも単純な勝ち残り式のトーナメントで準決勝の敗者同士で3位決定戦をする場合を考えて、1位2位3位が正しく実力通りに並ぶ確率はどのくらいでしょう?
話を単純にするために参加チームは2のべき乗(8とか16とか32とか)にします。そして対戦相手はランダムに決めるとします。
では、計算をしましょう。参加チーム数をnとします。
1位のチームはどこでも絶対に決勝まですすむので p0=1
2位のチームは決勝まで1位のチームに当たらなければいいので p1=(n/2)/(n-1)
3位のチームは準決勝まで1位や2位のチームに当たらなければいいので、p2=(n/2)/(n-2)
となります。
これらのand条件になるので P=p0・p1・p2=(n*n)/4/((n-1)・(n-2))。
なんか長いですが、nが充分に大きければ、P=1/4となります。
というわけで、上記の条件で1,2,3位が正しい確率は 1/4とわかりました。
以上から、1位はいいとして、2位と3位は3/4までは実力通りでない可能性があるといえます。
もちろん、この状況を改善するために、予選をグループごとの総当りで決めて、その勝者でトーナメントにするとか、あるいは敗者復活をもっと下のレベルから行うなどの改善策を講じていますが、総試合数を最小限にして実力通りの順位にするにはどうしたらいいんでしょう?
1位と戦ったすべてのチームが本当は2位だった可能性があります。
で、2位は1回戦から決勝までで1位になったチームに負けたチームがその順で勝ちあがり式のトーナメントを行なって、その勝者にします。これは試合数から考えても妥当でしょう。(もちろん、試合をするごとに戦力が低下することを考慮すると必ずしも公平とはいえませんが、この辺は許容される範囲でしょう。)
同様に3位は1位、2位と対戦して敗れたチームから順番にトーナメントをすることになりますが、1位と2位が違うブロックだった場合は、2位を決めるときに(2位に敗れたうちで)最も高順位だったチームとの対戦だけで良いことになります。仮に1位と2位が1回戦で当たっていた場合は、先ほどと同じグループから2位になったチームを除いてトーナメントすることになります。
この方式では試合数は最適になりますが、ルールが複雑になるのと、試合の同時進行が難しくなる、また、1位が決定してから2位決定戦、2位が決定しないと、3位決定戦ができなく、しかもその試合数が多いという欠点があります。

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プロフィール

かず

Author:かず
馬乗りです。
妻および愛娘(犬)あり。
世間一般には中年あるいはおじさんなどと呼ばれる年齢ですが、かたくなに認めません。
愛馬と家族とともに牧場を開業中です。

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